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摆钟论是谁的著作(摆钟论是哪个科学家的著作)

  等时曲线是由荷兰物理学家、数学家、天文学家和发明家克里斯蒂安·惠更斯(Christiaan Huygens)发现的。它是指物体在均匀重力场中(无摩擦)滑动到最低点所花费的时间与其起始点无关的曲线。

物理中的几何之美——等时曲线,一个反直觉的猜想,了不起的发现

图1:惠更斯和他的书《钟摆论》的首页

  摆线

  他的几何学证明上面描述的曲线是一个倒摆线(见下面的定义)发表在他1673年出版的《摆钟论》一书中。《钟摆论》被认为是17世纪最伟大的三部力学作品之一,另外两部著作分别是伽利略的《关于两门新科学的论述和数学论证》和艾萨克·牛顿的《自然哲学数学原理》。

  根据定义,摆线是圆沿直线滚动时点所描出的曲线。如图2所示的红色曲线。

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图2:摆线是圆上的一点沿直线滚动所描出的曲线

  有趣的是,赫尔曼·梅尔维尔(Herman Melville)的著作《白鲸记》(Moby Dick, 1851)中提到了摆线的这一特性:

  (试验台)也是一个进行深刻数学思考的地方。正是在“裴廓德号”的左手边,当皂石在我周围不停地转着的时候,我首先间接地注意到这样一个惊人的事实,那就是,在几何学上,一切物体都是沿着摆线滑行的,譬如说,我的皂石,就会在同一时刻,从任何一点落下来。

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  图3:摆线在美国作家赫尔曼·梅尔维尔(Herman Melville) 1851年的著作《白鲸记》中提到。

  计算时间

  现在我们将用基本的微积分技术来证明等时曲线是一个摆线。在惠更斯的证明之后,其他许多著名的数学家(包括拉格朗日和尼尔斯·亨里克·阿贝尔)用不同的方法证明了这个猜想。

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  图4:牛顿使用“牛顿摆”展示了能量守恒和动量守恒。

  假设球从静止状态释放。能量守恒定律给出:

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式1:总能量守恒

  K和T分别为球的动能和势能。很快就会看到,在O,A,C处释放的球会同时到达B。

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图5

  利用勾股定理:

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  式2:线元素。

  分离时间变量,则等式1的右侧为:

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  式3:球从O点到点(x, y)所需要的时间。

  τ为球从O到(x,y)所花费的时间。代入下式4(摆线的参数表示):

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  式4:摆线的参数方程。

  然后消掉(1-cos θ)因子,通过简单的积分得到:

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式5:球沿摆线以与θ角相对应的弧线滑动的时间

  现在,我们需要证明τ独立于θ。为了做到这一点,我们使用下面的基本运动学方程:

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  式6:ds/dt与垂直坐标y和y_0。常数y_0是球的初始静止位置。

  将θ变换为(θ-θ₀),时间间隔τ变成:

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现在做替换:

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  我们得到了正弦函数的逆函数的积分。

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  图6:四个球从不同位置开始沿着一个摆线滑动,同时到达底部(上面是时间图)。

  我们最终的结果是:

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  式7:球沿摆线向下滑动所需的时间与它的初始位置无关。

  因此,我们如预期的那样,确认球沿摆线滑动所需的时间是恒定的,与它的初始位置无关(见图6)。